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Un modèle résoluble pour la symétrie

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Un modèle résoluble pour la symétrie

Scientific Reports volume 13, Numéro d'article : 13768 (2023) Citer cet article 2219 Accès 3 Détails des métriques Altmetric Les modèles analytiquement résolubles sont des références dans les études de transitions de phase et

Scientific Reports volume 13, Numéro d'article : 13768 (2023) Citer cet article

2219 Accès

3 Altmétrique

Détails des métriques

Les modèles analytiquement résolubles sont des références dans les études sur les transitions de phase et les bifurcations formant des modèles. De tels modèles sont connus pour les transitions de phase du deuxième type dans des milieux uniformes, mais pas pour les états localisés (solitons), car les équations intégrables qui produisent des solitons n'y admettent pas de transitions intrinsèques. Nous introduisons un modèle résoluble pour les transitions de phase brisant la symétrie du premier et du deuxième types (alias bifurcations sous- et supercritiques) pour les solitons épinglés à un potentiel combiné linéaire-non linéaire à double puits, représenté par une paire symétrique de fonctions delta. Les signes d'autofocalisation et de défocalisation de la non-linéarité sont pris en compte. Dans le premier cas, des solutions exactes sont produites pour des solitons symétriques et asymétriques. Les solutions démontrent explicitement un basculement entre les transitions brisant la symétrie du premier et du deuxième types (c'est-à-dire les bifurcations sous- et supercritiques, respectivement). Dans le modèle d’auto-défocalisation, la solution démontre la transition du second type qui brise l’antisymétrie du premier état excité.

La dynamique des excitations collectives dans les systèmes physiques est déterminée par l'interaction de la diffraction ou de la dispersion sous-jacente, des auto-interactions non linéaires des champs ou des fonctions d'onde et des potentiels agissant sur les champs. Dans ce contexte, il est communément connu que l’état fondamental (GS) des systèmes linéaires reproduit la symétrie du potentiel sous-jacent, tandis que les états excités peuvent réaliser d’autres représentations de la même symétrie1. En particulier, la fonction d'onde d'une particule piégée dans un potentiel symétrique à double puits (DWP) est paire, tandis que le premier état excité est impair.

Bien que ces propriétés fondamentales soient démontrées par l'équation linéaire de Schrödinger, la dynamique des condensats de Bose-Einstein (BEC) est régie, en approximation du champ moyen, par l'équation de Gross-Pitaevskii (GPE), qui prend en compte les interactions entre particules, en ajoutant le terme cubique de l'équation de Schrödinger pour la fonction d'onde à particule unique2,3. Les interactions répulsives ou attractives sont représentées par le terme cubique avec le signe d'auto-défocalisation (SDF) ou d'auto-focalisation (SF). Essentiellement, le même modèle est la célèbre équation non linéaire de Schrödinger (NLSE), qui régit la propagation des ondes optiques dans des milieux non linéaires4 et trouve de nombreuses autres réalisations, comme modèle universel pour gouverner l'interaction de la faible diffraction ou dispersion et de la non-linéarité cubique SF5. . En optique, une contrepartie du potentiel de piégeage est le terme du NLSE qui représente la structure de guidage d'onde induite par un profil transversal de l'indice de réfraction.

La structure GS dans les modèles combinant la non-linéarité DWP et SF suit la symétrie du potentiel sous-jacent uniquement dans le régime faiblement non linéaire. Un effet générique qui se produit avec l'augmentation de la force de non-linéarité du SF est la transition de phase brisant la symétrie, qui rend le GS asymétrique par rapport à deux puits du DWP6. Cet effet de rupture spontanée de symétrie (SSB) implique, entre autres, que le principe communément connu de la mécanique quantique, selon lequel GS ne peut pas être dégénéré1, n'est plus valable dans les modèles non linéaires : évidemment, la SSB donne lieu à une rupture spontanée de symétrie (SSB) paire de deux GS mutuellement symétriques, avec le maximum de la fonction d'onde épinglé au puits de potentiel gauche ou droit du DWP sous-jacent. Le même système admet un état symétrique coexistant avec des états asymétriques, mais, au-dessus du point SSB, il ne représente pas le GS, étant instable face aux perturbations brisant la symétrie.

Dans les systèmes avec le signe SDF de non-linéarité, le GS reste symétrique et stable, tandis que la transition SSB brise l'antisymétrie du premier état excité (c'est un état spatialement impair, avec précisément un zéro de la fonction d'onde, situé au centre indiquer). L'état résultant avec l'antisymétrie spontanément brisée conserve le point zéro, qui est décalé du centre vers la droite ou la gauche.

0\)40,41,42,43, immediately implies that the family of solutions (3) in the case of the SF nonlinearity, \(\sigma =+1\), and \(\varepsilon >0\) is stable in its entire existence region, \(k>\varepsilon ^{2}/2\) (and completely unstable if the linear potential is repulsive, with \(\varepsilon <0\)). For localized states supported by the SDF nonlinearity, with \(\sigma =-1\), the VK stability criterion is replaced by the anti-VK one44, \(dP/dk<0\). Accordingly, in this case the localized states (3) are also stable in their entire existence region, which is \(00\), implies \(H_{0}<0\) for \(\varepsilon >0\), hence the localized solution represents a true bound state with the negative energy./p>0\) (the attractive potential), while both SF and SDF signs of the nonlinearity, \(\sigma =\pm 1\), will be addressed. For \(\sigma =+1\), the solution explicitly demonstrates gradual switch from the extreme subcritical bifurcation to the supercritical one via a regular subcritical bifurcation, in which the backward-going (lower) branches of unstable asymmetric states reverse into stable upper branches at turning points. For \(\sigma =-1\) the results are more straightforward, corroborating the stability of the symmetric GS and the occurrence of the supercritical antisymmetry-breaking transition in the first excited state./p>+1/2\), respectively, and a combination of these terms at \(|x|<1/2\). At points \(x=\pm 1/2\), the solutions are matched by the continuity condition for U(x) and the jump condition for the derivative dU/dx,/p>1\) and \(E(\varepsilon ,k)<1\), respectively. As it follows from Eq. (17), this condition implies that, in the case of SF nonlinearity, the symmetric state with given propagation constant k exists if the strength of the linear \(\delta\)-function potential does not exceed a maximum value,/p>\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\). The existence boundary (18) is shown by the red curve in Fig. 2a./p>0\)./p>2\). For a given propagation constant, the asymmetric solution exists if \(\varepsilon\) does not exceed a respective maximum value,/p>\) \(P_{{\textrm{asy}}}(k\rightarrow \infty)\equiv 1\), and it becomes the second-order transition for \(P_{{\textrm{bif}} }<1\). The corresponding equation, \(P_{{\textrm{bif}}}=1\), combined with Eq. (24), in which \(\varepsilon <\left( \varepsilon _{\max }\right) _{ {\textrm{asy}}}\) is replaced, as said above, by \(\varepsilon =\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{asy}}}\), amounts to/p>0\), are stable. Actually, the instability intervals for the asymmetric solitons are very narrow./p>\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\) [see Eq. (18)], is always stable, realizing the model’s GS. Accordingly, it is not subject to SSB. More interesting is the first excited state above the GS, i.e., the antisymmetric one, given by Eqs. (11)–(13) (with \(\sigma =-1\))/p>1\), in the area of the \(\left( \mu ,\varepsilon \right)\) plane above the brown boundary shown in Fig. 2b. Because Eq. (35) yields \(\varepsilon \ge 1\) in the limit of \(k\rightarrow 0\), there are no antisymmetric states at \(\varepsilon <1\). The integral power of the antisymmetric state is/p>1\) and \(\varepsilon >3/2\), respectively, in accordance with what is said above for the generic solutions of the same types./p>2\)./p>